1. Решить неравенства: а) $\frac{1}{2x}\le\frac{2}{2x-1}$; б) $\frac{1}{1-2x}\le -x$; в) $\frac{x-1}{x-1}+1\ge\frac{x-1}{x}$; г) $3-\frac{6}{x+2}\ge\frac{x+2}{x}$; д) $\frac{15}{4+3x-x^2}\ge1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решить неравенства: а) $\frac{1}{2x}\le\frac{2}{2x-1}$; б) $\frac{1}{1-2x}\le -x$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а)

ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne\frac12$.

$\frac{1}{2x}-\frac{2}{2x-1}=\frac{-2x-1}{2x(2x-1)}\le0$.

Критические точки: $-\frac12,0,\frac12$. Методом интервалов получаем:

Ответ: $x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(\frac12,+\infty\right)$.

б)

$\frac{1}{1-2x}+x\le0$, поэтому $\frac{1+x-2x^2}{1-2x}\le0$.

Нули числителя: $x=-\frac12$, $x=1$; знаменатель равен нулю при $x=\frac12$.

Ответ: $x\in\left(-\infty,-\frac12\right]\cup\left(\frac12,1\right]$.

в)

ОДЗ: $x\ne0,1$. Так как $\frac{x-1}{x-1}=1$, имеем $2\ge\frac{x-1}{x}$, то есть $\frac{x+1}{x}\ge0$.

Ответ: $x\in(-\infty,-1]\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$.

г)

ОДЗ: $x\ne-2,0$.

$3-\frac6{x+2}-\frac{x+2}{x}=\frac{2(x^2-2x-2)}{x(x+2)}\ge0$.

Нули числителя: $x=1\pm\sqrt3$; критические точки также $-2,0$. Методом интервалов:

Ответ: $x\in(-\infty,-2)\cup[1-\sqrt3,0)\cup[1+\sqrt3,+\infty)$.

д)

$\frac{15}{4+3x-x^2}-1=\frac{x^2-3x+11}{4+3x-x^2}\ge0$.

Числитель всегда положителен, так как его дискриминант отрицателен. Знаменатель положителен при $-1<x<4$.

Ответ: $x\in(-1,4)$.

1. Решить неравенства: а) \(\frac{1}{2x}\le\frac{2}{2x-1}\); б) \(\frac{1}{1-2x}\le -x\); в) \(\frac{x-1}{x-1}+1\ge\frac{x-1}{x}\); г) \(3-\frac{6}{x+2}\ge\frac{x+2}{x}\); д) \(\frac{15}{4+3x-x^2}\ge1\).