3. Решить неравенства: а) \(\frac{x^2-4}{x^2-2x-3}\ge0\); б) \(\frac{2x^2+5x-3}{2-x}\le2x-1\); в) \(\frac{2x^2+5x+3}{2x^2-29x+77}\le1\); г) \(\frac{(2-3x)(x^2+2x-3)}{3x^2+4x-4}\ge0\); д) \(2+\frac{x+1}{x-1}\ge\frac{12}{x-2}\); е) \(1-\frac{\frac1x}{1+\frac3x}\le\frac{(x+2)\left(\frac5{x+3}-2\right)}{1+\frac7{x-4}}\).

а) Разложим на множители:

\(\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+1)}\ge0\).

Критические точки: \(-2,-1,2,3\).

Ответ: \(x\in(-\infty,-2]\cup(-1,2]\cup(3,+\infty)\).

б)

\(\frac{2x^2+5x-3}{2-x}-(2x-1)=\frac{4x^2-2x-1}{2-x}\le0\).

Корни числителя: \(x=\frac{1\pm\sqrt5}{4}\), знаменатель обращается в ноль при \(x=2\).

Ответ: \(x\in\left[\frac{1-\sqrt5}{4},\frac{1+\sqrt5}{4}\right]\cup(2,+\infty)\).

в)

\(\frac{2x^2+5x+3}{2x^2-29x+77}-1=\frac{34x-74}{2x^2-29x+77}\le0\).

Нули: \(x=\frac{37}{17}\), а знаменатель равен нулю при \(x=\frac72\) и \(x=11\).

Ответ: \(x\in\left(-\infty,\frac{37}{17}\right]\cup\left(\frac72,11\right)\).

г)

Разложим выражение:

\(\frac{(2-3x)(x+3)(x-1)}{3(x+2)(x-\frac23)}\ge0\).

Критические точки: \(-3,-2,\frac23,1\).

Ответ: \(x\in(-\infty,-3]\cup\left(-2,\frac23\right)\cup[1,+\infty)\).

д)

Переносим всё в левую часть:

\(2+\frac{x+1}{x-1}-\frac{12}{x-2}=\frac{3x^2-19x+14}{(x-1)(x-2)}\ge0\).

Корни числителя: \(x=\frac{19\pm\sqrt{193}}6\); запрещённые значения: \(x=1,2\).

Ответ: \(x\in\left(-\infty,\frac{19-\sqrt{193}}6\right]\cup(1,2)\cup\left[\frac{19+\sqrt{193}}6,+\infty\right)\).

е)

ОДЗ: \(x\ne0,-3,4\).

Упростим левую часть:

\(1-\frac{\frac1x}{1+\frac3x}=1-\frac1{x+3}=\frac{x+2}{x+3}\).

Правая часть равна:

\(\frac{(x+2)\left(\frac5{x+3}-2\right)}{1+\frac7{x-4}}=-\frac{(x+2)(2x+1)(x-4)}{(x+3)^2}\).

После переноса в одну сторону:

\(\frac{(x+2)(2x^2-6x-1)}{(x+3)^2}\le0\).

Корни квадратного множителя: \(x=\frac{3\pm\sqrt{11}}2\). С учётом ОДЗ:

Ответ: \(x\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac{3-\sqrt{11}}2,0\right)\cup\left(0,\frac{3+\sqrt{11}}2\right]\).