Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. Решить систему уравнений методом подстановки: \(\begin{cases}\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{16}{15},\\x-y=2.\end{cases}\)Фото задания

Ответ:

ОДЗ: \(x\ne0\), \(y\ne0\).

  1. Из второго уравнения выразим \(y\): \(y=x-2\).
  2. Подставим в первое уравнение: \[\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x}=\frac{16}{15}.\]
  3. Приведём левую часть к общему знаменателю: \[\frac{x^2-(x-2)^2}{x(x-2)}=\frac{16}{15},\] \[\frac{4x-4}{x(x-2)}=\frac{16}{15}.\]
  4. Решим полученное уравнение: \[15(4x-4)=16x(x-2),\] \[60x-60=16x^2-32x,\] \[4x^2-23x+15=0.\]
  5. Дискриминант: \(D=(-23)^2-4\cdot4\cdot15=289=17^2\). Поэтому \[x=\frac{23\pm17}{8}.\] Получаем \(x_1=5\), \(x_2=\frac34\).
  6. Находим соответствующие значения \(y\): \[y_1=5-2=3,\qquad y_2=\frac34-2=-\frac54.\]

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют системе.

Ответ: \((5;3)\), \(\left(\frac34;-\frac54\right)\).