1. Решить систему уравнений: { x^2 - y^2 = 5, x^2 - xy + y^2 = 7. }

Решение:

1. Вычтем из второго уравнения системы первое: \( (x^2 - xy + y^2) - (x^2 - y^2) = 7 - 5 \)
2. Упростим: \( -xy + 2y^2 = 2 \)
3. Выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения: \( x^2 = 5 + y^2 \)
4. Подставим \( x^2 \) во второе уравнение: \( (5 + y^2) - xy + y^2 = 7 \)
5. \( 5 - xy + 2y^2 = 7 \)
6. \( -xy + 2y^2 = 2 \)
7. Из \( -xy + 2y^2 = 2 \) выразим \( x = \frac{2y^2 - 2}{y} \)
8. Подставим \( x \) в \( x^2 = 5 + y^2 \): \( (\frac{2y^2 - 2}{y})^2 = 5 + y^2 \)
9. \( \frac{4y^4 - 8y^2 + 4}{y^2} = 5 + y^2 \)
10. \( 4y^4 - 8y^2 + 4 = 5y^2 + y^4 \)
11. \( 3y^4 - 13y^2 + 4 = 0 \)
12. Пусть \( t = y^2 \), тогда \( 3t^2 - 13t + 4 = 0 \).
13. Найдем дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 169 - 48 = 121 \).
14. \( t_1 = \frac{13 + 11}{6} = 4 \), \( t_2 = \frac{13 - 11}{6} = \frac{1}{3} \).
15. Если \( y^2 = 4 \), то \( y = \pm 2 \).
16. Если \( y = 2 \), то \( x = \frac{2(2)^2 - 2}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3 \).
17. Если \( y = -2 \), то \( x = \frac{2(-2)^2 - 2}{-2} = \frac{8 - 2}{-2} = -3 \).
18. Если \( y^2 = \frac{1}{3} \), то \( y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \).
19. Если \( y = \frac{\sqrt{3}}{3} \), то \( x = \frac{2(\frac{1}{3}) - 2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{2}{3} - 2}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \).
20. Если \( y = -\frac{\sqrt{3}}{3} \), то \( x = \frac{2(\frac{1}{3}) - 2}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( (3; 2), (-3; -2), (-\frac{4\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{4\sqrt{3}}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}) \).