6. Решить уравнение: \( \log (2x) = 0.25 \log (x - 15)^4 \)

Решение:

1. ОДЗ: \( 2x > 0 \Rightarrow x > 0 \) и \( (x - 15)^4 > 0 \Rightarrow x - 15
   e 0 \Rightarrow x
   e 15 \). Объединяя, получаем \( x > 0 \) и \( x
   e 15 \).
2. Воспользуемся свойством логарифма \( \log a^b = b \log a \):
3. \( \log (2x) = 0.25 \cdot 4 \log |x - 15| \)
4. \( \log (2x) = \log |x - 15| \)
5. Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:
6. \( 2x = |x - 15| \)
7. Рассмотрим два случая:
8. Случай 1: \( x - 15 \ge 0 \), то есть \( x \ge 15 \).
9. Тогда \( 2x = x - 15 \)
10. \( x = -15 \).
11. Это решение не удовлетворяет условию \( x \ge 15 \), поэтому отбрасываем.
12. Случай 2: \( x - 15 < 0 \), то есть \( x < 15 \).
13. Тогда \( 2x = -(x - 15) \)
14. \( 2x = -x + 15 \)
15. \( 3x = 15 \)
16. \( x = 5 \).
17. Это решение удовлетворяет условиям \( x > 0 \), \( x
    e 15 \) и \( x < 15 \).

Ответ: \( x = 5 \).