7. Постройте график функции \( y = x^2 - 4x + 3 \). Выполните следующие шаги: 1. Определите вид графика и направление ветвей; 2. Найдите координаты вершины параболы; 3. Найдите точки пересечения с осями координат; 4. Постройте таблицу значений; 5. Постройте график, отметив все ключевые точки.

Решение:

1. Вид графика и направление ветвей:
2. Данная функция является квадратичной: \( y = x^2 - 4x + 3 \). Это парабола.
3. Коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 \), что больше нуля \( (1 > 0) \). Следовательно, ветви параболы направлены вверх.
4. Координаты вершины параболы:
5. Координата \( x \) вершины находится по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \). В данном случае \( a = 1 \), \( b = -4 \).
6. \( x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \).
7. Подставим \( x_в \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_в \):
8. \( y_в = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \).
9. Координаты вершины параболы: \( (2; -1) \).
10. Точки пересечения с осями координат:
11. С осью Oy: Положим \( x = 0 \).
12. \( y = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \). Точка пересечения с осью Oy: \( (0; 3) \).
13. С осью Ox: Положим \( y = 0 \).
14. \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
15. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
16. \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).
17. \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).
18. Точки пересечения с осью Ox: \( (1; 0) \) и \( (3; 0) \).
19. Таблица значений:
20. Возьмём вершину \( (2; -1) \), точки пересечения с осями \( (0; 3), (1; 0), (3; 0) \) и несколько дополнительных точек, симметричных относительно оси симметрии \( x = 2 \).
21. Например, при \( x = 4 \): \( y = (4)^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 \). Точка \( (4; 3) \).
22. При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 \). Точка \( (-1; 8) \).
23. При \( x = 5 \): \( y = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 \). Точка \( (5; 8) \).
24. График:

x	-1	0	1	2	3	4	5
y	8	3	0	-1	0	3	8

Ответ: График — парабола с ветвями вверх, вершина в точке \( (2; -1) \), пересекает ось Oy в \( (0; 3) \), ось Ox в \( (1; 0) \) и \( (3; 0) \).