1. Решить уравнение: 1) $0,1 \cdot 2^{x-3} = 10;$ 2) $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0.$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Решить уравнение: 1) $0,1 \cdot 2^{x-3} = 10;$ 2) $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0.$$ Фото задания

Accepted Answer

$\frac{1}{10} \cdot 2^{x-3} = 10$

$2^{x-3} = 100$

$x - 3 = \log_2(100)$

$x = 3 + \log_2(100)$

$x = 3 + \log_2(4 \cdot 25)$

$x = 3 + \log_2(4) + \log_2(25)$

$x = 3 + 2 + \log_2(25)$

$x = 5 + \log_2(25)$

Заменим $9^x$ на $(3^2)^x = (3^x)^2$. Пусть $y = 3^x$.

$y^2 - 7y - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как $y = 3^x$ и $3^x > 0$, то $y = -2$ не имеет решений.

Рассмотрим $y = 9$:

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: 1) $x = 5 + \log_2(25)$; 2) $x = 2$.

1. Решить уравнение: 1) \(0,1 \cdot 2^{x-3} = 10;\) 2) \(9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0.\)