1. Решить уравнение: а) \(\left(\frac12\right)^x=8\); б) \(49^{x-8}=7^x\); в) \(3^{2+x}+3^x=270\); г) \(81^x-3^{2x+1}=4\).

а) \(\left(\frac12\right)^x=2^{-x}=2^3\), поэтому \(-x=3\), откуда \(x=-3\).

б) \(49=7^2\), значит \(7^{2x-16}=7^x\). Приравниваем показатели: \(2x-16=x\), откуда \(x=16\).

в) Вынесем \(3^x\): \(3^x(3^2+1)=270\), то есть \(10\cdot3^x=270\). Тогда \(3^x=27=3^3\), поэтому \(x=3\).

г) Положим \(t=3^{2x}>0\). Тогда \(81^x=t^2\), а \(3^{2x+1}=3t\). Получаем \(t^2-3t=4\), или \((t-4)(t+1)=0\). С учётом \(t>0\), \(t=4\), поэтому \(3^{2x}=4\) и \(x=\frac{\log_3 4}{2}\).

Ответ: а) \(-3\); б) \(16\); в) \(3\); г) \(\frac{\log_3 4}{2}\).