1. Решить уравнения: a) cos(2x+pi/4)=sqrt(3)/2 б) 3(x^2-7)=27(x-1) в) (log_5 x)^2 - log_5 x - 2 = 0

Решение:

а) cos(2x + \(\frac{\pi}{4}\)) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

1. Общее решение уравнения \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) имеет вид \( \alpha = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
2. Приравниваем аргумент косинуса к общему решению: \( 2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \).
3. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

1. \( 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
2. \( 2x = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n \)
3. \( 2x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n \)
4. \( x = -\frac{\pi}{24} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Случай 2: \( 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

1. \( 2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
2. \( 2x = \frac{-2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n \)
3. \( 2x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n \)
4. \( x = -\frac{5\pi}{24} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{24} + \pi n \) и \( x = -\frac{5\pi}{24} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) 3(x² - 7) = 27(x - 1)

1. Раскроем скобки: \( 3x^2 - 21 = 27x - 27 \).
2. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( 3x^2 - 27x - 21 + 27 = 0 \).
3. Упростим: \( 3x^2 - 27x + 6 = 0 \).
4. Разделим всё уравнение на 3: \( x^2 - 9x + 2 = 0 \).
5. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 81 - 8 = 73 \).
6. Найдём корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{73}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + \sqrt{73}}{2} \)

\( x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{73}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - \sqrt{73}}{2} \)

Ответ: \( x_1 = \frac{9 + \sqrt{73}}{2}, x_2 = \frac{9 - \sqrt{73}}{2} \).

в) (log₅ x)² - log₅ x - 2 = 0

1. Введём замену переменной: пусть \( y = \log_5 x \).
2. Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - y - 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

1. Сделаем обратную замену:

Случай 1: \( \log_5 x = 2 \) \(\Rightarrow\) \( x = 5^2 = 25 \).

Случай 2: \( \log_5 x = -1 \) \(\Rightarrow\) \( x = 5^{-1} = \frac{1}{5} \).

Ответ: \( x = 25 \) и \( x = \frac{1}{5} \).