4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: f(x) = x^3 - 3x^2 + 7 на отрезке [0; 4]

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 7 \) на отрезке \( [0; 4] \)

1. Находим производную функции:

\( f'(x) = (x^3)' - (3x^2)' + (7)' \)

\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)

2. Находим критические точки (приравниваем производную к нулю):

\( 3x^2 - 6x = 0 \)

\( 3x(x - 2) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 2 \).

3. Находим значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку \( [0; 4] \), и на концах отрезка:

Значения \( x = 0 \) и \( x = 2 \) принадлежат отрезку \( [0; 4] \).

Вычисляем значения функции:

\( f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 7 = 0 - 0 + 7 = 7 \)

\( f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 7 = 8 - 3(4) + 7 = 8 - 12 + 7 = 3 \)

\( f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 + 7 = 64 - 3(16) + 7 = 64 - 48 + 7 = 16 + 7 = 23 \)

4. Сравниваем полученные значения:

Наибольшее значение равно \( 23 \) (при \( x = 4 \)).

Наименьшее значение равно \( 3 \) (при \( x = 2 \)).

Ответ: Наибольшее значение функции равно \( 23 \), наименьшее значение равно \( 3 \).