3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5

Исследование функции \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5 \)

1. Находим производную функции:

\( f'(x) = (-x^3)' + (3x^2)' + (9x)' - (5)' \)

\( f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 \)

2. Находим критические точки (приравниваем производную к нулю):

\( -3x^2 + 6x + 9 = 0 \)

Разделим уравнение на -3:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

3. Определяем интервалы монотонности и точки экстремума:

Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знак производной на каждом интервале:

\( (-\infty; -1) \): Возьмём \( x = -2 \). \( f'(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -3(4) - 12 + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 < 0 \). Функция убывает.

\( (-1; 3) \): Возьмём \( x = 0 \). \( f'(0) = -3(0)^2 + 6(0) + 9 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

\( (3; +\infty) \): Возьмём \( x = 4 \). \( f'(4) = -3(4)^2 + 6(4) + 9 = -3(16) + 24 + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 < 0 \). Функция убывает.

4. Определяем точки экстремума:

В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка минимума.

\( f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 5 = -(-1) + 3(1) - 9 - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10 \).

В точке \( x = 3 \) производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума.

\( f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 5 = -27 + 3(9) + 27 - 5 = -27 + 27 + 27 - 5 = 22 \).

Выводы:

• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (3; +\infty) \).
• Функция возрастает на интервале \( (-1; 3) \).
• Точка минимума: \( (-1; -10) \).
• Точка максимума: \( (3; 22) \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; -1] \) и \( [3; +\infty) \). Функция возрастает на \( [-1; 3] \). Точка минимума: \( (-1; -10) \). Точка максимума: \( (3; 22) \).