1. Решить: В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 14, а высота равна 12. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.

Обозначим через O центр окружности. Он лежит на оси симметрии трапеции. Половины оснований равны 2 и 7, а расстояние между основаниями равно 12.

Пусть расстояние от центра окружности до основания длиной 14 равно h. Тогда до основания длиной 4 расстояние равно 12 − h.

Радиусы, проведённые к вершинам каждого основания, равны, поэтому:

\(7^2+h^2=2^2+(12-h)^2\).

Раскрываем скобки: \(49+h^2=4+144-24h+h^2\), откуда \(24h=99\) и \(h=\frac{33}{8}\).

Находим радиус:

\(R^2=7^2+\left(\frac{33}{8}\right)^2=\frac{4225}{64}\), следовательно, \(R=\frac{65}{8}\).

Ответ: \(\frac{65}{8}\).