1. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера: x + y + z = 0; 2x − y + z = −9; x + 2z = −7.

Метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем строки:

\[\begin{bmatrix}1&1&1&|&0\\2&-1&1&|&-9\\1&0&2&|&-7\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1}\begin{bmatrix}1&1&1&|&0\\0&-3&-1&|&-9\\0&-1&1&|&-7\end{bmatrix}.\]

Из последних двух уравнений: \(-3y-z=-9\), \(-y+z=-7\). Складывая их, получаем \(-4y=-16\), откуда \(y=4\). Тогда \(-4+z=-7\), значит, \(z=-3\). Из первого уравнения \(x+4-3=0\), поэтому \(x=-1\).

Метод Крамера. Главный определитель:

\[\Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&0&2\end{vmatrix}=-4.\]

Определители для неизвестных:

\[\Delta_x=\begin{vmatrix}0&1&1\\-9&-1&1\\-7&0&2\end{vmatrix}=4,\qquad \Delta_y=\begin{vmatrix}1&0&1\\2&-9&1\\1&-7&2\end{vmatrix}=-16,\qquad \Delta_z=\begin{vmatrix}1&1&0\\2&-1&-9\\1&0&-7\end{vmatrix}=12.\]

Следовательно, \(x=\Delta_x/\Delta=-1\), \(y=\Delta_y/\Delta=4\), \(z=\Delta_z/\Delta=-3\).

Ответ: \(x=-1,\ y=4,\ z=-3\).