1) Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x+y=41,\\[2pt]\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{41}{20}.\end{cases}\)

Из-за дробей под корнями требуется \(x>0\) и \(y>0\). Обозначим \(t=\sqrt{\frac{x}{y}}\), тогда \(\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac1t\).

Получаем \(t+\frac1t=\frac{41}{20}\), то есть \(20t^2-41t+20=0\). Разложим: \((5t-4)(4t-5)=0\), поэтому \(t=\frac45\) или \(t=\frac54\).

Так как \(t^2=\frac{x}{y}\), в первом случае \(x:y=16:25\). Из \(x+y=41\) следует \((x,y)=(16,25)\). Во втором случае \(x:y=25:16\), поэтому \((x,y)=(25,16)\).

Ответ: \((16,25)\) и \((25,16)\).