1) Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x+y=41,\\ \sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{41}{20}.\end{cases}\)

Так как выражения содержат дроби с корнями, требуется \(x>0\) и \(y>0\).

1. Объединим слагаемые во втором уравнении: \(\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{y+x}{\sqrt{xy}}\). По первому уравнению \(x+y=41\), поэтому \(\frac{41}{\sqrt{xy}}=\frac{41}{20}\).
2. Отсюда \(\sqrt{xy}=20\), значит, \(xy=400\).
3. Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 41 и произведение 400. Они являются корнями уравнения \(t^2-41t+400=0\): \((t-16)(t-25)=0\).

Ответ: \((x,y)=(16,25)\) или \((25,16)\).