1. Решите уравнение: а) cos3x = \frac{\sqrt{2}}{2} б) \sqrt{3} cos2x + sin 2x = 0; г) 4 sin²x - 5 sin x * cos x = 6 cos²x = 0, б) 3cos²x + cosx = 4 = 0;

Решение:

а) cos3x = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

1. Общее решение уравнения \(\cos(3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет вид:
• \[ 3x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
2. Разделим обе части на 3:
• \[ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

б) \(\sqrt{3} \cos(2x) + \sin(2x) = 0\)

1. Перенесем \(\sin(2x)\) в правую часть:
• \[ \sqrt{3} \cos(2x) = -\sin(2x) \]
2. Разделим обе части на \(\cos(2x)\) (предполагая, что \(\cos(2x)
   eq 0\)):
• \[ \sqrt{3} = -\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \]
• \[ \sqrt{3} = -\tan(2x) \]
• \[ \tan(2x) = -\sqrt{3} \]
3. Общее решение уравнения \(\tan(2x) = -\sqrt{3}\) имеет вид:
• \[ 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
4. Разделим обе части на 2:
• \[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
5. Проверим, не равно ли \(\cos(2x)\) нулю при этих значениях \(x\). Если \(x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}\), то \(2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n\). \(\cos(-\frac{\pi}{3} + \pi n) = \cos(-\frac{\pi}{3}) \cos(\pi n) - \sin(-\frac{\pi}{3}) \sin(\pi n) = \frac{1}{2}(-1)^n - 0
   eq 0\). Следовательно, деление на \(\cos(2x)\) допустимо.

г) \(4 \sin²x - 5 \sin x \cdot \cos x - 6 \cos²x = 0\)

1. Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно \(\sin x\) и \(\cos x\). Разделим обе части на \(\cos²x\) (предполагая, что \(\cos x
   eq 0\)):
• \[ 4 \frac{\sin²x}{\cos²x} - 5 \frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos²x} - 6 \frac{\cos²x}{\cos²x} = 0 \]
• \[ 4 \tan²x - 5 \tan x - 6 = 0 \]
2. Сделаем замену переменной \(t = \tan x\):
• \[ 4t² - 5t - 6 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение относительно \(t\) с помощью дискриминанта:
• \[ D = (-5)² - 4(4)(-6) = 25 + 96 = 121 \]
• \[ \sqrt{D} = 11 \]
• \[ t₁ = \frac{5 + 11}{2 × 4} = \frac{16}{8} = 2 \]
• \[ t₂ = \frac{5 - 11}{2 × 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \]
4. Теперь найдем \(x\) из уравнений \(\tan x = 2\) и \(\tan x = -\frac{3}{4}\):
• \[ x = \arctan(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• \[ x = \arctan(-\frac{3}{4}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
5. Проверим, не равно ли \(\cos x\) нулю. Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\). В этом случае \(\sin x = \pm 1\). Подставляя в исходное уравнение: \(4(\pm 1)² - 5(\pm 1) \cdot 0 - 6 \cdot 0² = 4
   eq 0\). Следовательно, \(\cos x
   eq 0\) и деление на \(\cos²x\) допустимо.

б) \(3\cos²x + \cos x - 4 = 0\)

1. Сделаем замену переменной \(y = \cos x\):
• \[ 3y² + y - 4 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью дискриминанта:
• \[ D = 1² - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49 \]
• \[ \sqrt{D} = 7 \]
• \[ y₁ = \frac{-1 + 7}{2 × 3} = \frac{6}{6} = 1 \]
• \[ y₂ = \frac{-1 - 7}{2 × 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]
3. Теперь найдем \(x\) из уравнений \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -\frac{4}{3}\):
• \[ \cos x = 1 \implies x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
• \[ \cos x = -\frac{4}{3} \]
4. Уравнение \(\cos x = -\frac{4}{3}\) не имеет решений, так как \(-1 \le \cos x \le 1\), а \(-\frac{4}{3} \approx -1.33\).