3. Решите систему уравнений: { x+y=π/2 { cos x + sin y = √2

Решение:

У нас есть система уравнений:

• \[ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ \cos x + \sin y = \sqrt{2} \end{cases} \]

1. Из первого уравнения выразим \(y\):
• \[ y = \frac{\pi}{2} - x \]
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
• \[ \cos x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \sqrt{2} \]
3. Используем тригонометрическое тождество \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\):
• \[ \cos x + \cos x = \sqrt{2} \]
• \[ 2 \cos x = \sqrt{2} \]
• \[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
4. Найдем значения \(x\) из уравнения \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
• \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
5. Теперь найдем соответствующие значения \(y\), используя \(y = \frac{\pi}{2} - x\).
6. Случай 1: \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\)
• \[ y = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \frac{\pi}{4} - 2\pi n \]
• Решение: \(( \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} - 2\pi n )\)
7. Случай 2: \(x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\)
• \[ y = \frac{\pi}{2} - (- \frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - 2\pi n = \frac{3\pi}{4} - 2\pi n \]
• Решение: \(( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} - 2\pi n )\)

Ответ: Решениями системы являются \(( \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{\pi}{4} - 2\pi n )\) и \(( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} - 2\pi n )\), где \(n \in \mathbb{Z}\).