2. Решите неравенство: а) sin x) \frac{\sqrt{2}}{2}; б) cos²x - sin²x \le \frac{1}{2}

Решение:

а) \(\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}\)

1. На единичной окружности рассмотрим интервалы, где значение \(\sin x\) больше \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
2. Это соответствует интервалу углов от \(\frac{\pi}{4}\) до \(\frac{3\pi}{4}\).
3. Таким образом, общее решение неравенства:
• \[ \frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

б) \(\cos²x - \sin²x \le \frac{1}{2}\)

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos(2x) = \cos²x - \sin²x\).
2. Неравенство примет вид:
• \[ \cos(2x) \le \frac{1}{2} \]
3. На единичной окружности рассмотрим интервалы, где значение \(\cos(2x)\) меньше или равно \(\frac{1}{2}\).
4. Это соответствует интервалам углов, где \(2x\) находится в диапазоне от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{5\pi}{3}\) (с учетом периодичности).
5. Общее решение для \(2x\):
• \[ \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6. Разделим все части неравенства на 2, чтобы найти \(x\):
• \[ \frac{\pi}{6} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]