Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2-10x+21}{2x^2-15x+7}=0\); б) \(\frac{x+2}{x-2}=\frac{3x-2}{2x}\)Фото задания

Ответ:

Решение:

а) Решение уравнения \(\frac{x^2-10x+21}{2x^2-15x+7}=0\)

  1. Приравняем числитель к нулю: \( x^2-10x+21=0 \).
  2. Найдём дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \).
  3. Найдём корни числителя: \( x_1 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10+4}{2} = 7 \), \( x_2 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10-4}{2} = 3 \).
  4. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти ограничения: \( 2x^2-15x+7=0 \).
  5. Найдём дискриминант: \( D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 225 - 56 = 169 \).
  6. Найдём корни знаменателя: \( x_3 = \frac{15 + \sqrt{169}}{4} = \frac{15+13}{4} = 7 \), \( x_4 = \frac{15 - \sqrt{169}}{4} = \frac{15-13}{4} = 0.5 \).
  7. Корень \( x=7 \) является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль.

Ответ: \( x=3 \).

б) Решение уравнения \(\frac{x+2}{x-2}=\frac{3x-2}{2x}\)

  1. Найдём область допустимых значений: \( x \neq 2 \) и \( x \neq 0 \).
  2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( \frac{x+2}{x-2} - \frac{3x-2}{2x} = 0 \).
  3. Приведём к общему знаменателю \( 2x(x-2) \): \( \frac{2x(x+2) - (3x-2)(x-2)}{2x(x-2)} = 0 \).
  4. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{2x^2+4x - (3x^2 - 6x - 2x + 4)}{2x(x-2)} = 0 \).
  5. Упростим числитель: \( \frac{2x^2+4x - 3x^2 + 8x - 4}{2x(x-2)} = 0 \).
  6. \( \frac{-x^2+12x-4}{2x(x-2)} = 0 \).
  7. Приравняем числитель к нулю: \( -x^2+12x-4 = 0 \) или \( x^2-12x+4 = 0 \).
  8. Найдём дискриминант: \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 144 - 16 = 128 \).
  9. Найдём корни: \( x_1 = \frac{12 + \sqrt{128}}{2} = \frac{12 + 8\sqrt{2}}{2} = 6 + 4\sqrt{2} \), \( x_2 = \frac{12 - \sqrt{128}}{2} = \frac{12 - 8\sqrt{2}}{2} = 6 - 4\sqrt{2} \).
  10. Оба корня удовлетворяют условиям \( x \neq 2 \) и \( x \neq 0 \).

Ответ: \( x = 6 \pm 4\sqrt{2} \).