1. Решите уравнение: \(\frac{3}{x} - \frac{12}{x-3} = 1\)

Решение:

Для решения уравнения \(\frac{3}{x} - \frac{12}{x-3} = 1\) приведём его к общему знаменателю, который равен \( x(x-3) \). Учтём, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 3 \).

1. Умножим обе части уравнения на \( x(x-3) \):
   \( 3(x-3) - 12x = 1 · x(x-3) \)
2. Раскроем скобки:
   \( 3x - 9 - 12x = x^2 - 3x \)
3. Перенесём все члены в правую часть:
   \( x^2 - 3x - 3x + 12x + 9 = 0 \)
4. Упростим уравнение:
   \( x^2 + 6x + 9 = 0 \)
5. Это квадратное уравнение. Заметим, что оно является полным квадратом:
   \( (x+3)^2 = 0 \)
6. Найдём корень:
   \( x + 3 = 0 \)
   \( x = -3 \)
7. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям \( x \neq 0 \) и \( x \neq 3 \). Так как \( -3 \neq 0 \) и \( -3 \neq 3 \), корень подходит.

Ответ: \( x = -3 \).