2. Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 3x - y = 1 \\ xy = 10 \end{cases}\)

Решение:

Решим систему уравнений методом подстановки.

1. Из первого уравнения выразим \( y \):
   \( 3x - y = 1 \)
   \( y = 3x - 1 \)
2. Подставим полученное выражение для \( y \) во второе уравнение:
   \( x(3x - 1) = 10 \)
3. Раскроем скобки:
   \( 3x^2 - x = 10 \)
4. Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( 3x^2 - x - 10 = 0 \)
5. Найдём дискриминант квадратного уравнения \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -1 \), \( c = -10 \):
   \( D = (-1)^2 - 4 · 3 · (-10) = 1 + 120 = 121 \)
6. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
   \( \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \)
7. Найдём корни \( x \) по формуле \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]:
   \( x_1 = \frac{-(-1) + 11}{2 · 3} = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2 \)
   \( x_2 = \frac{-(-1) - 11}{2 · 3} = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \)
8. Теперь найдём соответствующие значения \( y \), используя выражение \( y = 3x - 1 \):
   Если \( x_1 = 2 \), то \( y_1 = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5 \).
   Если \( x_2 = -\frac{5}{3} \), то \( y_2 = 3(-\frac{5}{3}) - 1 = -5 - 1 = -6 \).

Ответ: \( (2; 5) \) и \( (-\frac{5}{3}; -6) \).