3. Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч?

Решение:

Обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде как \( v \) км/ч. Скорость течения реки равна \( 1 \) км/ч.

Тогда:

• Скорость лодки против течения: \( v - 1 \) км/ч.
• Скорость лодки по течению: \( v + 1 \) км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{28}{v-1} \) ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{16}{v+1} \) ч.

Общее время в пути равно 3 часа:

\( t_{против} + t_{по} = 3 \)

\( \frac{28}{v-1} + \frac{16}{v+1} = 3 \)

Приведём уравнение к общему знаменателю \( (v-1)(v+1) \). Учтём, что \( v > 1 \) (так как скорость лодки должна быть больше скорости течения, чтобы двигаться против него).

1. Умножим обе части уравнения на \( (v-1)(v+1) \):
   \( 28(v+1) + 16(v-1) = 3(v-1)(v+1) \)
2. Раскроем скобки:
   \( 28v + 28 + 16v - 16 = 3(v^2 - 1) \)
   \( 44v + 12 = 3v^2 - 3 \)
3. Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( 3v^2 - 44v - 12 - 3 = 0 \)
   \( 3v^2 - 44v - 15 = 0 \)
4. Найдём дискриминант квадратного уравнения \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -44 \), \( c = -15 \):
   \( D = (-44)^2 - 4 · 3 · (-15) = 1936 + 180 = 2116 \)
5. Найдём \( \sqrt{D} \):
   \( \sqrt{2116} = 46 \)
6. Найдём корни \( v \) по формуле \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]:
   \( v_1 = \frac{-(-44) + 46}{2 · 3} = \frac{44 + 46}{6} = \frac{90}{6} = 15 \)
   \( v_2 = \frac{-(-44) - 46}{2 · 3} = \frac{44 - 46}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
7. Так как скорость не может быть отрицательной, а также должна быть больше скорости течения (1 км/ч), выбираем положительный корень, удовлетворяющий условию \( v > 1 \).
   \( v_1 = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.