1. Решите уравнение \(\sqrt{38x^2 - x - 3} = -6x\). Запишите в ответ в опросном листе корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\(38x^2 - x - 3 = (-6x)^2\)

\(38x^2 - x - 3 = 36x^2\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(38x^2 - 36x^2 - x - 3 = 0\)

\(2x^2 - x - 3 = 0\)

Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \]

Найдем корни по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4} \]

Получаем два возможных корня:

\[ x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \]

\[ x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению \(\sqrt{38x^2 - x - 3} = -6x\), так как квадратный корень не может быть отрицательным (правая часть уравнения \(-6x\) должна быть неотрицательной).

Для \(x_1 = 1.5\):

Левая часть: \(\sqrt{38(1.5)^2 - 1.5 - 3} = \sqrt{38(2.25) - 1.5 - 3} = \sqrt{85.5 - 1.5 - 3} = \sqrt{81} = 9\)

Правая часть: \(-6(1.5) = -9\)

\(9 \neq -9\), значит \(x_1 = 1.5\) не является корнем.

Для \(x_2 = -1\):

Левая часть: \(\sqrt{38(-1)^2 - (-1) - 3} = \sqrt{38(1) + 1 - 3} = \sqrt{38 + 1 - 3} = \sqrt{36} = 6\)

Правая часть: \(-6(-1) = 6\)

\(6 = 6\), значит \(x_2 = -1\) является корнем.

Ответ: -1