3. Решите уравнение \(\log_5^2 x + 2 \log_5 \left(\frac{x}{125}\right) + 6 = 0\). Найдите сумму его корней. Полученное число запишите в опросный лист.

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов:

\[ \log_5 \left(\frac{x}{125}\right) = \log_5 x - \log_5 125 \]

Так как \(125 = 5^3\), то \(\log_5 125 = 3\).

Следовательно, \(\log_5 \left(\frac{x}{125}\right) = \log_5 x - 3\).

Подставим это в исходное уравнение:

\[ (\log_5 x)^2 + 2 (\log_5 x - 3) + 6 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ (\log_5 x)^2 + 2 \log_5 x - 6 + 6 = 0 \]

\[ (\log_5 x)^2 + 2 \log_5 x = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \(y = \log_5 x\). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 2y = 0 \]

Вынесем \(y\) за скобки:

\[ y(y + 2) = 0 \]

Отсюда два решения для \(y\):

1) \(y = 0\)

2) \(y + 2 = 0 → y = -2\)

Теперь вернёмся к переменной \(x\):

1) \(\log_5 x = 0 → x = 5^0 = 1\)

2) \(\log_5 x = -2 → x = 5^{-2} = \frac{1}{25}\)

Проверим, что оба корня положительны, так как аргумент логарифма должен быть больше нуля. \(1 > 0\) и \(\frac{1}{25} > 0\).

Найдем сумму корней:

\[ 1 + \frac{1}{25} = \frac{25}{25} + \frac{1}{25} = \frac{26}{25} \]

\(\frac{26}{25} = 1.04\)

Ответ: 1.04