2. Решите уравнение \(6^x - 7 \cdot 3^x = 6 \cdot 2^x - 42\). Пусть \(a\) — больший корень уравнения. Найдите значение выражения \(2^a\). Полученное число запишите в опросный лист.

Решение:

Перепишем уравнение, приведя к одному основанию:

\((2 · 3)^x - 7 · 3^x = 6 · 2^x - 42\)

\(2^x · 3^x - 7 · 3^x = 6 · 2^x - 42\)

Сгруппируем слагаемые:

\(2^x · 3^x - 6 · 2^x - 7 · 3^x + 42 = 0\)

Вынесем общие множители:

\(2^x(3^x - 6) - 7(3^x - 6) = 0\)

\((2^x - 7)(3^x - 6) = 0\)

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) \(2^x - 7 = 0 → 2^x = 7 → x = \log_2 7\)

2) \(3^x - 6 = 0 → 3^x = 6 → x = \log_3 6\)

Теперь сравним два корня: \(x_1 = \log_2 7\) и \(x_2 = \log_3 6\).

\(\log_2 7\) находится между \(\log_2 4=2\) и \(\log_2 8=3\), то есть \(2 < \log_2 7 < 3\).

\(\log_3 6\) находится между \(\log_3 3=1\) и \(\log_3 9=2\), то есть \(1 < \log_3 6 < 2\).

Следовательно, \(\log_2 7\) — больший корень. Обозначим его как \(a\): \(a = \log_2 7\).

Нам нужно найти значение выражения \(2^a\):

\[ 2^a = 2^{\log_2 7} \]

По определению логарифма, \(b^{\log_b x} = x\).

\[ 2^{\log_2 7} = 7 \]

Ответ: 7