1. Решите уравнение: a) $$2x^2 + 7x - 9 = 0$$; б) $$3x^2 = 18x$$; в) $$100x^2 - 16 = 0$$; г) $$x^2 - 16x + 63 = 0$$. 2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см^2. 3. В уравнении $$x^2 + px - 18 = 0$$ один из его корней равен 9. Найдите другой.

**1. Решение уравнений:** а) $$2x^2 + 7x - 9 = 0$$ Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 * 2 * (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 * 2} = \frac{-7 + 11}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 * 2} = \frac{-7 - 11}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$$ Ответ: $$x_1 = 1, x_2 = -4.5$$ б) $$3x^2 = 18x$$ $$3x^2 - 18x = 0$$ $$3x(x - 6) = 0$$ $$x_1 = 0, x - 6 = 0 => x_2 = 6$$ Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 6$$ в) $$100x^2 - 16 = 0$$ $$100x^2 = 16$$ $$x^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$$ $$x_1 = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} = 0.4$$ $$x_2 = -\sqrt{\frac{4}{25}} = -\frac{2}{5} = -0.4$$ Ответ: $$x_1 = 0.4, x_2 = -0.4$$ г) $$x^2 - 16x + 63 = 0$$ Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 1 * 63 = 256 - 252 = 4$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 + \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{16 + 2}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 - \sqrt{4}}{2 * 1} = \frac{16 - 2}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ Ответ: $$x_1 = 9, x_2 = 7$$ **2. Периметр и площадь прямоугольника:** Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр $$P = 2(a + b) = 20$$, значит, $$a + b = 10$$. Площадь $$S = a * b = 24$$. Имеем систему уравнений: $$\begin{cases} a + b = 10 \ a * b = 24 \end{cases}$$ Выразим a из первого уравнения: $$a = 10 - b$$ Подставим во второе уравнение: $$(10 - b) * b = 24$$ $$10b - b^2 = 24$$ $$b^2 - 10b + 24 = 0$$ $$D = (-10)^2 - 4 * 1 * 24 = 100 - 96 = 4$$ $$b_1 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = \frac{10 + 2}{2} = 6$$ $$b_2 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4$$ Если $$b = 6$$, то $$a = 10 - 6 = 4$$. Если $$b = 4$$, то $$a = 10 - 4 = 6$$. Ответ: Стороны прямоугольника 4 см и 6 см. **3. Нахождение другого корня:** Дано уравнение $$x^2 + px - 18 = 0$$ и один из корней $$x_1 = 9$$. Подставим $$x_1$$ в уравнение: $$9^2 + p * 9 - 18 = 0$$ $$81 + 9p - 18 = 0$$ $$9p = -63$$ $$p = -7$$ Теперь уравнение имеет вид: $$x^2 - 7x - 18 = 0$$ Чтобы найти второй корень $$x_2$$, можно воспользоваться теоремой Виета: $$x_1 * x_2 = c$$, где c - свободный член. $$9 * x_2 = -18$$ $$x_2 = \frac{-18}{9} = -2$$ Ответ: Второй корень равен -2.