1. Решите уравнение: a) $$3x^2 + 13x - 10 = 0$$; б) $$2x^2 - 3x = 0$$; в) $$16x^2 = 49$$; г) $$x^2 - 2x - 35 = 0$$. 2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см^2. 3. Один из корней уравнения $$x^2 + 11x + q = 0$$ равен -7. Найдите другой.

**1. Решение уравнений:** а) $$3x^2 + 13x - 10 = 0$$ Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 * 3 * (-10) = 169 + 120 = 289$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 * 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - \sqrt{289}}{2 * 3} = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$ Ответ: $$x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -5$$ б) $$2x^2 - 3x = 0$$ $$x(2x - 3) = 0$$ $$x_1 = 0, 2x - 3 = 0 => 2x = 3 => x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$$ Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = 1.5$$ в) $$16x^2 = 49$$ $$x^2 = \frac{49}{16}$$ $$x_1 = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} = 1.75$$ $$x_2 = -\sqrt{\frac{49}{16}} = -\frac{7}{4} = -1.75$$ Ответ: $$x_1 = 1.75, x_2 = -1.75$$ г) $$x^2 - 2x - 35 = 0$$ Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 * 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Ответ: $$x_1 = 7, x_2 = -5$$ **2. Периметр и площадь прямоугольника:** Пусть a и b - стороны прямоугольника. Периметр $$P = 2(a + b) = 30$$, значит, $$a + b = 15$$. Площадь $$S = a * b = 56$$. Имеем систему уравнений: $$\begin{cases} a + b = 15 \ a * b = 56 \end{cases}$$ Выразим a из первого уравнения: $$a = 15 - b$$ Подставим во второе уравнение: $$(15 - b) * b = 56$$ $$15b - b^2 = 56$$ $$b^2 - 15b + 56 = 0$$ $$D = (-15)^2 - 4 * 1 * 56 = 225 - 224 = 1$$ $$b_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = \frac{15 + 1}{2} = 8$$ $$b_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = \frac{15 - 1}{2} = 7$$ Если $$b = 8$$, то $$a = 15 - 8 = 7$$. Если $$b = 7$$, то $$a = 15 - 7 = 8$$. Ответ: Стороны прямоугольника 7 см и 8 см. **3. Нахождение другого корня:** Дано уравнение $$x^2 + 11x + q = 0$$ и один из корней $$x_1 = -7$$. Подставим $$x_1$$ в уравнение: $$(-7)^2 + 11 * (-7) + q = 0$$ $$49 - 77 + q = 0$$ $$q = 28$$ Теперь уравнение имеет вид: $$x^2 + 11x + 28 = 0$$ Чтобы найти второй корень $$x_2$$, можно воспользоваться теоремой Виета: $$x_1 * x_2 = q$$, где q - свободный член. $$-7 * x_2 = 28$$ $$x_2 = \frac{28}{-7} = -4$$ Ответ: Второй корень равен -4.