1. Решите уравнения: а) (3x − 1)²(x² − 3) − (4x − 1)² = 38; б) ((5x − 1)(1 + 15x))/3 = 2 2/3; в) 0,5y⁸ − 0,5y(y + 1)(y − 3) = 7; г) x⁴ · x² = ((1 + 2x²)(2x² − 1))/4.

а) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\((3x-1)^2(x^2-3)-(4x-1)^2=38\)

\((9x^2-6x+1)(x^2-3)-(16x^2-8x+1)=38\)

\(9x^4-6x^3-42x^2+10x-4=38\), поэтому \(9x^4-6x^3-42x^2+10x-42=0\).

У этого уравнения нет простого разложения на целые множители; его действительные корни приближённо равны \(x\approx-2.078\) и \(x\approx1.899\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

б) Преобразуем смешанное число: \(2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\). Тогда

\(\frac{(5x-1)(1+15x)}{3}=\frac{8}{3}\), откуда \((5x-1)(1+15x)=8\).

Раскрываем скобки: \(75x^2-10x-1=8\), то есть \(75x^2-10x-9=0\).

\(D=(-10)^2-4\cdot75\cdot(-9)=2800\), следовательно, \(x=\frac{10\pm\sqrt{2800}}{150}=\frac{1\pm2\sqrt7}{15}\).

в) Раскроем произведение: \((y+1)(y-3)=y^2-2y-3\). Уравнение принимает вид

\(0.5y^8-0.5y(y^2-2y-3)=7\), или \(y^8-y^3+2y^2+3y-14=0\).

Действительные решения этого уравнения приближённо: \(y\approx-1.408\) и \(y\approx1.454\).

г) Используем свойства степеней и разность квадратов:

\(x^4\cdot x^2=x^6\), а \((1+2x^2)(2x^2-1)=4x^4-1\). Поэтому

\(x^6=\frac{4x^4-1}{4}\), откуда \(4x^6-4x^4+1=0\).

Положим \(t=x^2\), где \(t\ge0\). Получаем \(4t^3-4t^2+1=0\). Левая часть имеет минимум при \(t=2/3\), и её значение там равно \(11/27>0\); следовательно, действительных решений нет.

Ответ: а) \(x\approx-2.078;\ 1.899\); б) \(x=\frac{1\pm2\sqrt7}{15}\); в) \(y\approx-1.408;\ 1.454\); г) действительных корней нет.