Докажите, что уравнение x⁶ + 6x⁴ + x² + 4 = 0 не имеет корней, и решите число, обращающее в корень уравнения 12x⁵ + 7x³ + 11x − 3 = 121.

В первом уравнении при любом действительном \(x\) степени \(x^6\), \(x^4\) и \(x^2\) неотрицательны. Поэтому

\(x^6+6x^4+x^2+4\ge4>0\).

Левая часть не может равняться нулю, значит действительных корней нет.

Во втором уравнении сгруппируем слагаемые:

\(12x^5+7x^3+11x-3=121\), следовательно, \(12x^5+7x^3+11x=124\).

При целочисленном корне левая часть делится на \(x\), значит \(x\) должен быть делителем 124. Проверка делителей показывает, что \(x=1\) даёт \(12+7+11=30\), а \(x=2\) даёт \(384+56+22=462\); отрицательные делители дают отрицательное значение левой части. Следовательно, целочисленного корня нет.

Для действительного корня рассмотрим \(f(x)=12x^5+7x^3+11x-124\). Производная \(f'(x)=60x^4+21x^2+11>0\), поэтому действительный корень единственный. Численно он равен \(x\approx1.393\).

Ответ: первое уравнение не имеет действительных корней; единственный действительный корень второго уравнения приближённо равен \(1.393\). Целочисленного корня у второго уравнения нет.