1. Решите задачу. Введите ответы в предложенные ниже поля. В каждом поле введите только число без пробелов. В равностороннем треугольнике АВС проведены высоты AD и ВЕ. Окружность с центром в точке О и радиусом вписана в треугольник. ВО = 12 см. Вычислите r, EO, BE, AD и EC. Для иррациональных ответов найдите приближенное значение и округлите ответ до десятых.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Центр О является центром описанной окружности.

Радиус описанной окружности \( R \) равен расстоянию от центра О до вершины треугольника. По условию, \( BO = R = 12 \) см.

Радиус вписанной окружности \( r \) равен расстоянию от центра О до стороны треугольника.

В равностороннем треугольнике медиана (и высота) делится в отношении 2:1, считая от вершины. То есть, \( BO : OE = 2 : 1 \).

Так как \( BO = 12 \) см, то \( OE = BO / 2 = 12 / 2 = 6 \) см.

Радиус вписанной окружности \( r = OE = 6 \) см.

Высота \( BE \) равна сумме радиусов описанной и вписанной окружностей: \( BE = BO + OE = 12 + 6 = 18 \) см.

В равностороннем треугольнике все высоты равны, поэтому \( AD = BE = 18 \) см.

\( EC \) — это половина стороны \( AC \), так как \( BE \) является также и медианой.

Найдем сторону треугольника \( a \) через высоту: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). \( 18 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

\( a = \frac{18 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \) см.

\( EC = a / 2 = (12\sqrt{3}) / 2 = 6\sqrt{3} \) см.

Приближенное значение \( 6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 = 10.392 \). Округляем до десятых: \( 10.4 \) см.

Ответ:

• r — 6 см
• EO — 6 см
• BE — 18 см
• AD — 18 см
• EC — 10.4 см