3. Решите задачу. Введите ответ в предложенное ниже поле. В ответе укажите только число без пробелов. Дан параллелограмм, вершины которого лежат на одной окружности. Найдите периметр этого параллелограмма, если соотношение его сторон 20 : 21, а радиус окружности 43,5 см.

Решение:

Если вершины параллелограмма лежат на окружности, то этот параллелограмм является прямоугольником. Это следует из того, что сумма противоположных углов параллелограмма равна 180°, а сумма углов вписанного четырехугольника равна 180°. Следовательно, каждый угол параллелограмма равен 90°.

Пусть стороны параллелограмма (прямоугольника) равны \( a \) и \( b \). По условию, соотношение сторон \( a : b = 20 : 21 \).

Пусть \( a = 20x \) и \( b = 21x \), где \( x \) — коэффициент пропорциональности.

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Радиус окружности \( R = 43.5 \) см, следовательно, диаметр \( d = 2R = 2 · 43.5 = 87 \) см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами \( a, b \) и диагональю \( d \): \( a^2 + b^2 = d^2 \).

Подставим выражения для сторон: \( (20x)^2 + (21x)^2 = 87^2 \).

\( 400x^2 + 441x^2 = 7569 \).

\( 841x^2 = 7569 \).

\( x^2 = \frac{7569}{841} \).

\( x^2 = 9 \).

\( x = √{9} = 3 \).

Теперь найдем длины сторон: \( a = 20x = 20 · 3 = 60 \) см.

\( b = 21x = 21 · 3 = 63 \) см.

Периметр параллелограмма (прямоугольника) вычисляется по формуле \( P = 2(a+b) \).

\( P = 2(60 + 63) = 2 · 123 = 246 \) см.

Ответ: периметр параллелограмма равен 246 см.