Ответ:

  1. С грустью глядели они на поросшие мхом остатки водосточных труб. Причастный оборот стоит перед определяемым словом «остатки», поэтому запятой не выделяется.
  2. Висевшая боком стая на окне была сорвана. Причастный оборот стоит перед определяемым словом «стая», поэтому запятой не выделяется.
  3. Друзьям хотелось узнать тайну, связанную с этим домом. Причастный оборот стоит после определяемого слова «тайну», поэтому отделяется запятой.