1. Сократите дробь \(\frac{3a^2 - 5a - 2}{a^2 - 5a + 6}\)

Решение:

1. Разложим числитель на множители: \( 3a^2 - 5a - 2 \). Найдем корни уравнения \( 3a^2 - 5a - 2 = 0 \) через дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \). \( a_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \), \( a_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2 \). Следовательно, \( 3a^2 - 5a - 2 = 3(a + \frac{1}{3})(a - 2) = (3a + 1)(a - 2) \).
2. Разложим знаменатель на множители: \( a^2 - 5a + 6 \). Найдем корни уравнения \( a^2 - 5a + 6 = 0 \) через дискриминант: \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \). \( \sqrt{D} = 1 \). \( a_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \), \( a_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \). Следовательно, \( a^2 - 5a + 6 = (a - 2)(a - 3) \).
3. Сократим дробь: \( \frac{(3a + 1)(a - 2)}{(a - 2)(a - 3)} = \frac{3a + 1}{a - 3} \) при \( a \neq 2 \).

Ответ: \( \frac{3a + 1}{a - 3} \).