3. Пассажирский поезд проходит расстояние, равное 120 км, на 1 ч быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше.

Решение:

1. Обозначим скорость товарного поезда как \( v \) км/ч.
2. Тогда скорость пассажирского поезда будет \( v + 20 \) км/ч.
3. Время движения товарного поезда: \( t_{товарного} = \frac{120}{v} \) ч.
4. Время движения пассажирского поезда: \( t_{пассажирского} = \frac{120}{v + 20} \) ч.
5. По условию, товарный поезд ехал на 1 час дольше, значит: \( \frac{120}{v} - \frac{120}{v + 20} = 1 \).
6. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{120(v + 20) - 120v}{v(v + 20)} = 1 \).
7. Раскроем скобки: \( \frac{120v + 2400 - 120v}{v^2 + 20v} = 1 \).
8. Упростим: \( \frac{2400}{v^2 + 20v} = 1 \).
9. Перенесём всё в одну часть: \( v^2 + 20v - 2400 = 0 \).
10. Найдем дискриминант: \( D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000 \). \( \sqrt{D} = 100 \).
11. Найдём \( v \): \( v_1 = \frac{-20 + 100}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) км/ч. \( v_2 = \frac{-20 - 100}{2} = -60 \) (скорость не может быть отрицательной).
12. Скорость товарного поезда: \( v = 40 \) км/ч.
13. Скорость пассажирского поезда: \( v + 20 = 40 + 20 = 60 \) км/ч.

Ответ: скорость товарного поезда 40 км/ч, скорость пассажирского поезда 60 км/ч.