1 способ: Продлим боковые стороны трапеции до пересечения в точке T (см. чертёж). Докажите, что длина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, равна полуразности оснований: \(PQ=\frac{b-a}{2}\).

Обозначим через \(a\) длину меньшего основания, а через \(b\) — большего. Пусть \(P\) и \(Q\) — середины оснований трапеции.

1. Продолжим боковые стороны до пересечения в точке \(T\). Так как основания трапеции параллельны, треугольники \(TBC\) и \(TAD\) подобны.
2. Поскольку \(P\) — середина \(BC\), отрезок \(TP\) — медиана треугольника \(TBC\). Поэтому \(TP=\frac{BC}{2}=\frac a2\).
3. Поскольку \(Q\) — середина \(AD\), отрезок \(TQ\) — медиана треугольника \(TAD\). Поэтому \(TQ=\frac{AD}{2}=\frac b2\).
4. Точки \(T,P,Q\) лежат на одной прямой, причём \(P\) находится между \(T\) и \(Q\). Следовательно, \(PQ=TQ-TP=\frac b2-\frac a2=\frac{b-a}{2}\).

Ответ: \(PQ=\frac{b-a}{2}\).