2 способ: Через точку $P$ проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции (см. чертёж). Тогда $ABPE$, $FPCD$ — параллелограммы. Докажите, что $PQ=\frac{b-a}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2 способ: Через точку $P$ проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции (см. чертёж). Тогда $ABPE$, $FPCD$…$ Фото задания

2 способ: Через точку $P$ проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции (см. чертёж). Тогда $ABPE$, $FPCD$ — параллелограммы. Докажите, что $PQ=\frac{b-a}{2}$.

Accepted Answer

Проведём через $P$ прямые, параллельные боковым сторонам трапеции; пусть они пересекают большее основание в точках $E$ и $F$, а боковые стороны обозначены $AB$ и $CD$.

Так как противоположные стороны четырёхугольников параллельны, $ABPE$ и $FPCD$ — параллелограммы. Поэтому $AE=BP=\frac a2$ и $FD=PC=\frac a2$.
Точки $A,E,Q,F,D$ лежат на одной прямой, а $AQ=QD=\frac b2$. Значит, $EQ=AQ-AE=\frac b2-\frac a2=\frac{b-a}{2}$, и аналогично $QF=QD-FD=\frac{b-a}{2}$.
На рисунке $\angle EPF=90^\circ$, поэтому треугольник $EPF$ прямоугольный. Точка $Q$ — середина его гипотенузы $EF$, поскольку $EQ=QF$.
Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна половине гипотенузы. Следовательно, $PQ=\frac12 EF=EQ=\frac{b-a}{2}$.

Ответ: $PQ=\frac{b-a}{2}$.

2 способ: Через точку \(P\) проведём прямые, параллельные боковым сторонам трапеции (см. чертёж). Тогда \(ABPE\), \(FPCD\) — параллелограммы. Докажите, что \(PQ=\frac{b-a}{2}\).

Ответ: