1) $\sqrt[7]{x^2-2}=\sqrt[3]{x}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) $\sqrt[7]{x^2-2}=\sqrt[3]{x}$$ Фото задания

1) $\sqrt[7]{x^2-2}=\sqrt[3]{x}$

Accepted Answer

Положим $t=\sqrt[3]{x}$, тогда $x=t^3$. Возведём обе части исходного уравнения в седьмую степень:

$x^2-2=t^7$, поэтому $t^6(1-t)=2$.

Если $t\ge 0$, то наибольшее значение $t^6(1-t)$ при $0\le t\le1$ меньше 1, а при $t>1$ выражение отрицательно. Значит, решений с $t\ge0$ нет.

Если $t<0$, положим $u=-t>0$. Тогда $u^6(1+u)=2$. Левая часть строго возрастает при $u>0$, а $u=1$ удовлетворяет равенству. Следовательно, $t=-1$, откуда $x=t^3=-1$.

Ответ: $x=-1$.

1) \(\sqrt[7]{x^2-2}=\sqrt[3]{x}\)

Ответ: