1) \(\sqrt{x-1}=x-2\)

Область определения: \(x-1\ge 0\), то есть \(x\ge 1\). Кроме того, поскольку квадратный корень неотрицателен, необходимо \(x-2\ge 0\), откуда \(x\ge 2\).

Возведём обе части в квадрат при условии \(x\ge 2\):

\[x-1=(x-2)^2=x^2-4x+4.\]

Переносим всё в одну сторону:

\[x^2-5x+5=0.\]

По формуле корней:

\[x=\frac{5\pm\sqrt{25-20}}{2}=\frac{5\pm\sqrt5}{2}.\]

Из условия \(x\ge2\) подходит только \(x=\frac{5+\sqrt5}{2}\). Подстановка в исходное уравнение подтверждает равенство.

Ответ: \(x=\frac{5+\sqrt5}{2}\).