1. Сравнить числа: lg 0,1 и log₃ 1/81

Решение:

Необходимо сравнить два числа: \( \lg 0,1 \) и \( \log_3 \frac{1}{81} \).

1. Вычислим значение \( \lg 0,1 \):

Десятичный логарифм \( \lg x \) — это логарифм по основанию 10. То есть, \( \lg 0,1 = \log_{10} 0,1 \).

Так как \( 0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1} \), то:

\( \lg 0,1 = \log_{10} 10^{-1} = -1 \).

2. Вычислим значение \( \log_3 \frac{1}{81} \):

Логарифм \( \log_a b \) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \).

Пусть \( \log_3 \frac{1}{81} = x \). Тогда по определению логарифма:

\( 3^x = \frac{1}{81} \).

Представим \( 81 \) как степень числа 3:

\( 81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 \).

Тогда \( \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4} \).

Получаем уравнение:

\( 3^x = 3^{-4} \).

Отсюда следует, что \( x = -4 \).

Таким образом, \( \log_3 \frac{1}{81} = -4 \).

3. Сравним полученные значения:

Нам нужно сравнить \( -1 \) и \( -4 \).

На числовой прямой число \( -1 \) находится правее числа \( -4 \), значит \( -1 > -4 \).

Следовательно, \( \lg 0,1 > \log_3 \frac{1}{81} \).

Ответ: lg 0,1 > log₃ 1/81