1. Сторона AB, BC и AC треугольника ABC равны соответственно √10, 3 и 3√3. Точка M — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон AB и BC. Найдите косинус угла MAC.

Так как M лежит на серединном перпендикуляре к AB, то MA = MB. Поскольку M также лежит на серединном перпендикуляре к BC, MB = MC. Следовательно, MA = MB = MC, то есть M — центр описанной окружности треугольника ABC.

Пусть стороны, противоположные углам A, B и C, равны соответственно a = BC = 3, b = AC = 3√3 и c = AB = √10. По теореме косинусов:

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc) = (27 + 10 − 9) / (2 · 3√3 · √10) = 14 / (3√30).

Центральный угол AMC, опирающийся на хорду AC, равен 2A. В равнобедренном треугольнике AMC углы при основании равны, поэтому ∠MAC = (180° − 2A) / 2 = 90° − A.

Следовательно, cos ∠MAC = cos(90° − A) = sin A. Вычислим:

sin A = √(1 − cos² A) = √(1 − 196/270) = √(37/135) = √111/45.

Ответ: cos ∠MAC = √111/45.