1. Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите высоту этого треугольника.

Задание 1. Высота равностороннего треугольника

Дано:

• Равносторонний треугольник.
• Сторона \( a = 12\sqrt{3} \).

Найти: высоту \( h \).

Решение:

В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной стороны и стороной треугольника. По теореме Пифагора:

\[ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 \]

Подставим значение стороны \( a = 12\sqrt{3} \):

\[ h^2 + \left(\frac{12\sqrt{3}}{2}\right)^2 = (12\sqrt{3})^2 \]

\[ h^2 + (6\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 \]

\[ h^2 + (36 \cdot 3) = 432 \]

\[ h^2 + 108 = 432 \]

\[ h^2 = 432 - 108 \]

\[ h^2 = 324 \]

\[ h = \sqrt{324} \]

\[ h = 18 \]

Ответ: 18