1. Стороны AB, BC и AC треугольника ABC равны соответственно √10, 3 и 3√3. Точка M расположена вне треугольника ABC, причём отрезок CM пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами M, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла MAC, если угол MAC > 90°.

При подобии треугольников MAC и ABC в указанном порядке вершине M соответствует A, вершине A — B, вершине C — C. Поэтому угол MAC равен углу ABC.

По теореме косинусов для угла B:

\(\cos B=\dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\dfrac{10+9-27}{2\cdot\sqrt{10}\cdot3}= -\dfrac{2}{3\sqrt{10}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{15}.\)

Полученное значение отрицательно, что согласуется с условием об угле MAC, большем 90°.

Ответ: \(-\dfrac{\sqrt{10}}{15}\).