1. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 14 см. Найдите периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника.

Решение:

1. Обозначим данный треугольник как ABC со сторонами \( AB = 14 \) см, \( BC = 10 \) см, \( AC = 12 \) см.
2. Пусть точки M, N, P — середины сторон AB, BC, AC соответственно.
3. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
4. \( MN \) — средняя линия, соединяющая середины сторон AB и BC. \( MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см.
5. \( NP \) — средняя линия, соединяющая середины сторон BC и AC. \( NP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \) см.
6. \( MP \) — средняя линия, соединяющая середины сторон AB и AC. \( MP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \) см.
7. Периметр треугольника MNP равен сумме длин его сторон: \( P_{MNP} = MN + NP + MP = 6 + 7 + 5 = 18 \) см.
8. Также, периметр треугольника, вершины которого — середины сторон данного треугольника, равен половине периметра исходного треугольника. Периметр исходного треугольника: \( P_{ABC} = 10 + 12 + 14 = 36 \) см. Периметр среднего треугольника: \( \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \) см.

Ответ: периметр треугольника равен 18 см.