Ответ:

Перевод задания: Выберите правильную форму глагола: «Они ______, что закончат работу к следующей неделе».

A) promised — верно: действие в прошлом выражено формой Past Simple.

They promised that they would finish the work by next week. — Они пообещали, что закончат работу к следующей неделе.

Ответ: A) promised (пообещали).