1. Тип 13 № 105 а) Решите уравнение 2 cos 2x-3+4 sinx = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 7π/3].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$.
2. Подставляем в уравнение: $$2(1 - 2\sin^2 x) - 3 + 4\sin x = 0$$.
3. Упрощаем: $$2 - 4\sin^2 x - 3 + 4\sin x = 0$$.
4. Получаем квадратное уравнение относительно $$\sin x$$: $$-4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0$$.
5. Умножаем на -1: $$4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0$$.
6. Это полный квадрат: $$(2\sin x - 1)^2 = 0$$.
7. Отсюда $$2\sin x - 1 = 0$$, значит $$\sin x = \frac{1}{2}$$.
8. Находим значения x: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$ или $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

б) Поиск корней на отрезке [π; 7π/3]:

1. Для первой серии корней $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$:
• При $$k=0$$: $$x = \frac{\pi}{6}$$ (не входит в отрезок).
• При $$k=1$$: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$. Проверяем: $$\pi \le \frac{13\pi}{6} \le \frac{7\pi}{3}$$. $$1 \le \frac{13}{6} \le \frac{7}{3} \implies 1 \le 2.16... \le 2.33...$$. Этот корень подходит.
2. Для второй серии корней $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$:
• При $$k=0$$: $$x = \frac{5\pi}{6}$$ (не входит в отрезок).
• При $$k=1$$: $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$. Проверяем: $$\pi \le \frac{17\pi}{6} \le \frac{7\pi}{3}$$. $$1 \le \frac{17}{6} \le \frac{7}{3} \implies 1 \le 2.83... \le 2.33...$$. Этот корень НЕ подходит, так как $$\frac{17\pi}{6} > \frac{14\pi}{6} = \frac{7\pi}{3}$$.

Ответ: а) $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$, $$k \in \mathbb{Z}$$; б) $$\frac{13\pi}{6}$$.