3. Тип 13 № 1425 а) Решите уравнение 2sin2x+√3sinx - 3 = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6; -2].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Сделаем замену переменной: пусть $$y = \sin x$$.
2. Уравнение примет вид: $$2y^2 + \sqrt{3}y - 3 = 0$$.
3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (\sqrt{3})^2 - 4 × 2 × (-3) = 3 + 24 = 27$$.
4. Корни: $$y_1 = rac{-\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = rac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = rac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ и $$y_2 = rac{-\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = rac{-\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = rac{-4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$$.
5. Возвращаемся к замене: $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ или $$\sin x = -\sqrt{3}$$.
6. Второе уравнение $$\sin x = -\sqrt{3}$$ не имеет решений, так как $$-1 \le \sin x \le 1$$, а $$-\sqrt{3} \approx -1.732$$.
7. Решаем уравнение $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
8. Общее решение: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ или $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

б) Поиск корней на отрезке [-6; -2]:

Приближенные значения $$\pi \approx 3.14159$$. Отрезок [-6; -2] находится в третьем и четвертом квадрантах, если рассматривать его в радианах.

1. Для первой серии корней $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$:
• При $$k=0$$: $$x = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$$ (не входит в отрезок).
• При $$k=-1$$: $$x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = \frac{\pi - 6\pi}{3} = -\frac{5\pi}{3} \approx -5.236$$. Проверим: $$-6 \le -5.236 \le -2$$. Этот корень подходит.
• При $$k=-2$$: $$x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = \frac{\pi - 12\pi}{3} = -\frac{11\pi}{3} \approx -11.519$$ (не входит в отрезок).
2. Для второй серии корней $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$:
• При $$k=0$$: $$x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$ (не входит в отрезок).
• При $$k=-1$$: $$x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.189$$. Проверим: $$-6 \le -4.189 \le -2$$. Этот корень подходит.
• При $$k=-2$$: $$x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi - 12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3} \approx -10.472$$ (не входит в отрезок).

Ответ: а) $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$, $$k \in \mathbb{Z}$$; б) $$-\frac{5\pi}{3}$$, $$-\frac{4\pi}{3}$$.