2. Тип 13 № 101 а) Решите уравнение tg2x+5tgx+6=0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π; -π/2].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Сделаем замену переменной: пусть $$t = \mathrm{tg} x$$.
2. Получаем квадратное уравнение: $$t^2 + 5t + 6 = 0$$.
3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $$D = 5^2 - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1$$.
4. Корни: $$t_1 = rac{-5 + 1}{2} = -2$$ и $$t_2 = rac{-5 - 1}{2} = -3$$.
5. Возвращаемся к замене: $$\mathrm{tg} x = -2$$ или $$\mathrm{tg} x = -3$$.
6. Общее решение: $$x = \mathrm{arctg}(-2) + \pi k$$ или $$x = \mathrm{arctg}(-3) + \pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.

б) Поиск корней на отрезке [-2π; -π/2]:

Так как функция $$y = \mathrm{arctg}(x)$$ имеет область значений $$(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$$, а тангенс является периодической функцией с периодом $$\pi$$, нам нужно найти такие $$k$$, чтобы корни попали в указанный интервал.

1. Для $$x = \mathrm{arctg}(-2) + \pi k$$:
• Нам нужно, чтобы $$-2\pi \le \mathrm{arctg}(-2) + \pi k \le -\frac{\pi}{2}$$.
• Так как $$\mathrm{arctg}(-2)$$ находится в диапазоне $$(-\frac{\pi}{2}; 0)$$, добавим $$k=0, 1, 2$$.
• При $$k=0$$: $$x = \mathrm{arctg}(-2) \approx -1.107$$ радиан. Это больше $$-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$$, но меньше 0. Не входит в отрезок.
• При $$k=1$$: $$x = \mathrm{arctg}(-2) + \pi \approx -1.107 + 3.141 = 2.034$$. Не входит в отрезок.
• При $$k=-1$$: $$x = \mathrm{arctg}(-2) - \pi \approx -1.107 - 3.141 = -4.248$$. Проверим: $$-2\pi \approx -6.283 \le -4.248 \le -1.57$$. Этот корень подходит.
• При $$k=-2$$: $$x = \mathrm{arctg}(-2) - 2\pi \approx -1.107 - 6.283 = -7.39$$. Не входит в отрезок.
2. Для $$x = \mathrm{arctg}(-3) + \pi k$$:
• Аналогично, найдем $$k=-1$$.
• При $$k=-1$$: $$x = \mathrm{arctg}(-3) - \pi \approx -1.249 - 3.141 = -4.39$$. Проверим: $$-2\pi \approx -6.283 \le -4.39 \le -1.57$$. Этот корень подходит.

Ответ: а) $$x = \mathrm{arctg}(-2) + \pi k$$, $$x = \mathrm{arctg}(-3) + \pi k$$, $$k \in \mathbb{Z}$$; б) $$\mathrm{arctg}(-2) - \pi$$, $$\mathrm{arctg}(-3) - \pi$$.