1. Тип 22 № 349820. Постройте график функции \(y=x^2-|6x+7|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль с учётом знака выражения \(6x+7\):

\[y=\begin{cases}(x+3)^2-2,&x<-\frac76,\\(x-3)^2-16,&x\ge -\frac76.\end{cases}\]

График состоит из левой части параболы с вершиной \((-3,-2)\) и правой части параболы с вершиной \((3,-16)\). Обе части соединяются в точке \((-\frac76,\frac{49}{36})\).

При \(m=-2\) горизонтальная прямая пересекает график в вершине левой части и ещё в двух точках правой части: всего три точки.

При \(m=\frac{49}{36}\) она проходит через общую точку частей графика; кроме неё, есть по одной точке пересечения на каждой части, всего три. На промежутках между этими уровнями получается четыре пересечения, а на остальных уровнях — не три.

Ответ: \(m=-2\) или \(m=\frac{49}{36}\).