3. Тип 22 № 349984. Постройте график функции $y=\frac{(x^2+0.25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Тип 22 № 349984. Постройте график функции $y=\frac{(x^2+0.25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$…$ Фото задания

3. Тип 22 № 349984. Постройте график функции $y=\frac{(x^2+0.25)(x-1)}{1-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Так как $1-x=-(x-1)$, для $x\ne1$ функция упрощается:

\[y=-\left(x^2+\frac14\right).\]

График — парабола, направленная ветвями вниз, с выколотой точкой $(1,-\frac54)$.

Точки пересечения с прямой $y=kx$ удовлетворяют уравнению

\[x^2+kx+\frac14=0,\qquad x\ne1.\]

Дискриминант равен $D=k^2-1$. Если $|k|<1$, действительных корней нет; если $|k|=1$, есть один двойной корень, отличный от 1. Если $|k|>1$, обычно имеются два корня. При $k=-\frac54$ один из двух корней равен 1 и исключается из области определения, поэтому остаётся ровно одна общая точка. Это значение уже входит в условие $k\le-1$.

Ответ: $k\le-1$ или $k\ge1$.

3. Тип 22 № 349984. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+0.25)(x-1)}{1-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: