1. Тип 9 № 786. Постройте график функции \(y=\frac{2x+1}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne 0\) и \(x\ne-\frac12\), поскольку знаменатель равен \(x(2x+1)\).

При допустимых \(x\) сокращаем общий множитель:

\[y=\frac{2x+1}{x(2x+1)}=\frac1x.\]

График — гипербола \(y=\frac1x\) с выколотой точкой \((-\frac12,-2)\); при \(x=0\) вертикальная асимптота.

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(\frac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k>0\) обычно получаются две точки. Чтобы одна из них совпала с выколотой точкой, нужно \(k=\frac{1}{(-1/2)^2}=4\). Тогда точка при \(x=-\frac12\) отсутствует, а точка при \(x=\frac12\) остаётся. При \(k\le0\) пересечений нет.

Ответ: \(k=4\).